6. Seja g(x) = raiz(x) para x >= 0 .

d) Calcule o limite, quando h se aproxima de zero da taxa de variação média de g(x) com relação a x no intervalo [1,1 + h] .

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular o limite, quando h se aproxima de zero, da taxa de variação média de g x .

Vamos usar a taxa que encontramos no item (a):

m = 1 + h - 1 h

E Calcular o limite:

lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 h

Passo 2

Repara que se só substituirmos o h igual a zero, vamos achar 0 / 0 e isso não pode. Isso é uma indeterminação.

Pra sumir com essa indeterminação, como temos uma subtração com raiz, uma boa tática é multiplicar pelo conjugado em cima e embaixo.

Lembrando que o conjugado, quando é raiz quadrada, é só trocar o sinal, então o conjugado de 1 + h - 1 é 1 + h + 1 .

Passo 3

Aplicando no limite:

lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 h = lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 h ⋅ 1 + h + 1 1 + h + 1

= lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 - 1 2 h 1 + h + 1

= lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 h 1 + h + 1

= lim h → 0 ⁡ h h 1 + h + 1

Cortando o h :

= lim h → 0 ⁡ 1 1 + h + 1

= 1 1 + 0 + 1

= 1 2

= 0,5

OBS: se liga só que foi exatamente o mesmo valor que achamos pela tabela no item (c)

=)

Resposta

0,5

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