Mostre que:
Passo 1
Entender o que acontece no
Provar essa inequação parece complicadinho, até porque se fizermos:
Eita, mas será mesmo que uns infinitos são menores do que outros ?
Uma estratégia é tentar provar que:
Que dá no mesmo, mas facilita a nossa vida na hora de aplicar o limite. Vamos então agora calcular:
E como a questão pede pra provar pra todos os valores reais, vamos ter que calcular também:
Então vamo que vamo
Passo 2
Calcular o primeiro limite, para
Nesse limite temos duas funções que tendem ao infinito, então:
É na verdade uma indeterminação do tipo . Temos que então reescrever a função de forma a nos ajudar a sair dessa indeterminação. Vamos começar então por:
O que é o mesmo que:
Eita, parece mais complicado! Mas de uma boa olhada no último limite na ordem de leitura:
Esse limite é algo que tiramos por L’Hospital! Realizando então:
E por fim, ficamos com:
Agora sim, só aplicar os limites e ver no que dá:
E até ontem pelo menos:
Então esse primeiro limite ta provado. Falta o segundo.
Passo 3
Calcular o primeiro limite, para
Opa, ta acabando. Falta agora só a gente encontrar o limite:
Vamos separar esse limite e dois e ver cada um, saca só:
No primeiro limite, quanto mais negativo for o valor de , mais positivo é o valor de na inversa de . Em matematiquês, isso é o mesmo que dizer que:
Já no segundo limite, como é uma reta, quanto mais negativo for , mais negativo vai ser , logo:
Juntando os resultados:
Opa, obtemos o mesmo resultado de novo. Maravilha, então realmente, para crescendo infinitamente para a esquerda e pra direita, e logo .
Resposta
é provado como verdadeiro.