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Exercícios Resolvidos de Teste de Crescimento e Decrescimento

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 10h

Para cada função f definida abaixo faça todos os itens a seguir:

  • Encontre a função f ' ( x ) e os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
  • Encontre a função f ' ' ( x ) e estude a concavidade de f .

f x = x 8 - x 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede primeiro para determinarmos a sua derivada f x .

Com essa derivada, devemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f x , ou seja, devemos determinar os pontos críticos (onde f ' x = 0 ) e verificar o comportamento da função.

Depois, derivamos f ' x para encontrarmos a segunda derivada f ' ' x .

Para verificar a concavidade, temos que lembrar que se a derivada segunda for negativa, a concavidade da função é voltada para baixo e, se for positiva, a concavidade é voltada para cima.

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... primeiramente vamos encontrar a derivada primeira utilizando a regra do produto:

f ' x = x 8 - x 2 ' + 8 - x 2 x '

f ' x = - 2 x 2 + 8 8 - x 2

Agora vamos fazer f ' x = 0 para encontrarmos os pontos críticos:

- 2 x 2 + 8 8 - x 2 = 0 ∴

- 2 x 2 = - 8 ∴

x 2 = 4 ∴

x = ± 2

Assim, podemos estudar os intervalos da nossa função f ' x = - 2 x 2 + 8 8 - x 2 :

  • Para valores menores que - 2 (vamos escolher x = - 3 ):

    • f ' - 3 = - 2 - 3 2 + 8 8 - - 3 2 = i n d e f i n i d o   e m   R

  • Para valores entre - 2 e 2 (vamos escolher x = 0 ):

    • f ' 0 = - 2 - 3 2 + 8 8 - - 3 2 = 2 2

  • Para valores maiores que 2 (vamos escolher x = 3 ):

f ' 3 = - 2 3 2 + 8 8 - 3 2 = i n d e f i n i d o   e m   R

Com base nesses resultados, podemos afirmar:

f x = d e c r e s c e n t e   p a r a   x < - 2 c r e s c e n t e   p a r a - 2 < x < 2   d e c r e s c e n t e   p a r a   x > 2

Passo 3

Derivando f ' x para encontrarmos a segunda derivada, utilizando a regra do quociente, obtemos:

f ' ' x = 8 - x 2 - 2 x 2 + 8 ' - - 2 x 2 + 8 8 - x 2 ' 8 - x 2 2 ∴

f ' ' x = 2 x 3 - 24 x 8 - x 2 8 - x 2

Fazendo f ' ' x = 0 , temos:

2 x 3 - 24 x 8 - x 2 8 - x 2 = 0 ∴

x 2 x 2 - 24 = 0 ∴

x 2 = 12 ∴

x = ± 2 3

Dessa forma, para valores entre - 2 3 a 0 , a concavidade é voltada para cima.

Por outro lado, para valores entre 0 a 2 3 , a concavidade é voltada para baixo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f ' x = - 2 x 2 + 8 8 - x 2

f x = d e c r e s c e n t e   p a r a   x < - 2 c r e s c e n t e   p a r a - 2 < x < 2   d e c r e s c e n t e   p a r a   x > 2

f ' ' x = 2 x 3 - 24 x 8 - x 2 8 - x 2

Concavidade para cima para - 2 3 , 0

Concavidade para baixo para 0 , + 2 3

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