UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.2.1
Sendo crescente e , mostre que é crescente no intervalo .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que é crescente para , sabendo que é crescente e .
Pra isso, nós vamos analisar o sinal da função e de suas derivadas, porque uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Assim, conseguiremos demonstrar que é crescente no intervalo dado.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando , usando a regra do quociente:
Como vai ser sempre positivo, o sinal da expressão de depende apenas do numerador, que nós vamos chamar de . Pra verificar o sinal dessa expressão, vamos derivar , usando a regra do produto:
Simplificando:
Como o enunciado nos disse que é crescente, sua derivada é positiva e temos . Logo, para , também. E se a derivada é positiva, é crescente. Tá, e pra ?
Bom, pra , teremos em :
E pelo enunciado , então:
E novamente teremos para . Logo, para . Como a derivada da função é sempre positiva no intervalo, podemos dizer que é crescente para , como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉