Sendo f ' crescente e f 0 = 0 , mostre que g x = f x x é crescente no intervalo ( 0 ,   + ∞ ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que g x = f x x é crescente para x > 0 , sabendo que f ' é crescente e f 0 = 0 .

Pra isso, nós vamos analisar o sinal da função e de suas derivadas, porque uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Assim, conseguiremos demonstrar que g ( x ) é crescente no intervalo dado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando g x = f x x , usando a regra do quociente:

g ' x = f ' x x - f x x 2

Como x 2 vai ser sempre positivo, o sinal da expressão de g ' depende apenas do numerador, que nós vamos chamar de h x = f ' x x - f x . Pra verificar o sinal dessa expressão, vamos derivar h ( x ) , usando a regra do produto:

h ' x = f ' ' x x + f ' x - f ' ( x )

Simplificando:

h ' x = f ' ' x x

Como o enunciado nos disse que f ' é crescente, sua derivada é positiva e temos f ' ' x > 0 . Logo, para x > 0 , h ' x > 0 também. E se a derivada é positiva, h é crescente. Tá, e pra x = 0 ?

Bom, pra x = 0 , teremos em h x = f ' x x - f x :

h 0 = f ' ' 0 ∙ 0 - f ( 0 )

E pelo enunciado f 0 = 0 , então:

h 0 = 0

E novamente teremos h x > 0 para x > 0 . Logo, g ' x = h x > 0 para x > 0 . Como a derivada da função é sempre positiva no intervalo, podemos dizer que g é crescente para x > 0 , como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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