Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 14 – Seção 6 – Exercício 11
(Capítulo 14.6 – Exercício 11) Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
Passo 1
Faaaala pessoal, vamos lá!
A questão pede para calcular a derivada direcional de num ponto na direção do vetor .
A derivada direcional de num ponto na direção de um vetor unitário qualquer é dada por
Mas atenção: a gente SEMPRE precisa garantir que o vetor que dá a direção esteja normalizado ok? Ou seja, o módulo dele sempre deve valer 1! Caso isso não aconteça, vamos dividir o vetor pelo seu próprio módulo, pra aí encontrarmos o vetor normalizado.
Então vamos lá
Passo 2
O vetor dado é
Neste caso, não está normalizado, porque olha quem é o módulo dele:
Logo,
Showw, então agora sim o nosso vetor é unitário
É esse vetor que vamos usar para calcular a derivada direcional
Passo 3
Agora vamos encontrar o gradiente de :
Suas derivadas parciais são:
Então, o gradiente da função é
Portanto, no ponto , o gradiente vai valer:
Passo 4
Agora sim, temos todas as informações para calcular a derivada direcional:
Logo, calculando esse produto escalar:
E fimmm