Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
- Se é uma função diferenciável tal que então para todos os vetores unitários , .
Passo 1
Precisamos dizer se essa afirmação é real com base nas informações do enunciado. Mas por que ele fala de derivadas parciais e derivadas direcionais? Pode ser porque esses dois assuntos se relacionam na fórmula de uma derivada direcional:
Então a gente vai tentar usar essa informação para resolver a questão.
Passo 2
Vamos entender a primeira informação que ele dá:
Ele diz que a soma de dois termos ao quadrado é diferente de zero. Concorda que para isso acontecer, pelo menos um desses termos precisa ser diferente de zero? Então o que ele está dizendo é que ou ou são diferentes de zero, ou e são diferentes de zero.
Então a gente pode dizer que pode ter uma dessas formas, sendo e constantes:
Passo 3
A afirmação diz que se isso acontece, todas as derivadas direcionais de são diferentes de , para qualquer vetor unitário.
Mas vamos analisar a fórmula de derivada direcional para esse caso:
A gente quer saber se pode zerar. Percebe que a gente tem um produto escalar nessa fórmula e a única maneira de um produto escalar zerar é se tivermos dois vetores perpendiculares. Então quer dizer que se o vetor unitário for normal a , a derivada direcional zera. Logo, essa afirmação é falsa.
Por exemplo, usando uma das formas que a gente definiu para o vetor gradiente . Se nosso vetor unitário for , que é perpendicular a :
Resposta
Falsa