Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Ver Teoria
Exercício 241234567891011121314151617181920212223252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 30b

Seja f x ,   y = { x 3 y x 6 + y 2     s e   x ,   y ≠ 0 ,   0   0     s e   x ,   y = 0 ,   0   .

b) Calcule �� f ∂ v ( 0 ,   0 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um vetor unitário, v = ( α ,   β ) , e uma função definida por partes, que é f ( x ,   y ) . Nós queremos calcular a derivada parcial de f em relação a v , no ponto ( 0 ,   0 ) .

Pra isso, vamos utilizar a definição de derivada direcional no ponto ( x 0 ,   y 0 ) , que para um vetor unitário genérico u = ( a ,   b ) , é dada por:

D u f x 0 ,   y 0 = f x 0 + h a ,   y 0 + h b - f ( x 0 ,   y 0 ) h  

Então, vamos substituir x 0 ,   y 0 = ( 0 ,   0 ) e calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Usando a definição vista no passo 1 , para o ponto ( 0 ,   0 ) , na direção do vetor v = ( α ,   β ) , vamos ter:

D v f 0 ,   0 = f 0 + h a ,   0 + h b - f ( 0 ,   0 ) h  

Para descobrir f 0 + h a ,   0 + h a , temos que fazer x = 0 + h a e y = 0 + h b em f x ,   y = x 3 y x 6 + y 2 . Além disso, de acordo com a definição da função, f 0 ,   0 = 0 . Assim, temos:

D v f 0 ,   0 = ( h 3 a 3 ) ( h b ) h 6 a 6 + h 2 b 2 - 0 h   = h 4 a 3 b h 6 a 6 + h 2 b 2 h  

Fazendo a divisão de frações:

D v f 0 ,   0 = l i m h → 0 h 4 a 3 b h 6 a 6 + h 2 b 2 ∙ 1 h = l i m h → 0 h 3 a 3 b h 6 a 6 + h 2 b 2

Dividindo todo mundo por h 2 :

D v f 0 ,   0 = l i m h → 0 h a 3 b h 4 a 6 + b 2

Daí, quando h → 0 , temos:

D v f 0 ,   0 = 0 ∙ a 3 b 0 4 a 6 + b 2 = 0 b 2 = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D v f 0 ,   0 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v. f x , y , z = x y z 3,2 , 6 v = - 1 ,- 2 ,2
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . f x , y = 1 + 2 x y , 3 ,4 ,v → = ( 4 ,- 3 )
14.1. É dado o mapa de contornos mostrando a pressão barométrica (em milímetros) às 7:00 horas da manhã do dia 12 de setembro de 1960, quando o Furacão Donna estava ativo. Estime o valor da função pre
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . f x , y = ln ⁡ ( x 2 + y ² ) , 2 ,1 ,v → = ( - 1 ,2 ) ²
Determine a derivada direcional de f x , y , z = x y + y z + z x em P 1 , - 1,3 na direção de Q 2,4 , 5 .