Suponha que em certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por

V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z

  1. Determine a taxa de variação do potencial em P ( 3,4 , 5 ) na direção do vetor v → = ( 1,1 , - 1 ) .

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou deixá-la mais fácil para você! O problema nos deu uma certa região no espaço descrita por esse potencial

V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z

v .

Mas como assim taxa de variação na direção de um vetor? É que quando estamos falando de superfícies (em 3d) podemos querer saber como essa região está variando em uma determinada direção, como por exemplo ao longo do eixo x !

Mas não precisa ser na direção de um dos eixos cartesianos, pode ser na direção de qualquer vetor. O que precisamos garantir é que esse vetor seja UNITÁRIO

Então a primeira coisa a se fazer é encontrar o vetor unitário que esteja na mesma direção do vetor v → :

u → = v → v →

E depois? Depois é só aplicar a fórmula da derivada direcional! Ela envolve o produto escalar do vetor gradiente com esse vetor unitário:

D u V = ∇ V → ⋅ u →

E aquele ponto? Bom, queremos saber qual é a derivada direcional no ponto P em específico, então achando o vetor gradiente, é só aplicar ele no ponto P e fazer o produto escalar!

Vamos seguir esses passos

  • Achar o unitário de v →
  • Calcular o gradiente de V e aplicar no ponto P
  • Fazer o produto escalar entre esses dois vetores

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O vetor   v → é:

v → = ( 1,1 , - 1 )

E sua norma é:

v → = 1 2 + 1 2 + - 1 2 = 3

Aí o vetor unitário associado a ele é:

u → = v → v → = ( 1,1 , - 1 ) 3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular o gradiente de V e aplicar no ponto P . A superfície é:

V = 5 x 2 - 3 x y + x y z

E o gradiente é:

∇ V → = ∂ V ∂ x , ∂ V ∂ y , ∂ V ∂ z = ( 10 x - 3 y ;   - 3 x + x z ; x y )

Beleza? Agora basta aplicar no ponto P ( 3,4 , 5 ) :

∇ → V P = 30 - 14 ;   - 9 + 15 ; 12 = ( 14 ; 6 ; 12 )

Passo 4

Nosso passo final é fazer o produto escalar entre o vetor gradiente no ponto P e o unitário u → :

∇ → V P = ( 14 ; 6 ; 12 )

u → = ( 1,1 , - 1 ) 3

E a derivada direcional em P é:

D u V P = 14 ; 6 ; 12 ⋅ 1,1 , - 1 3 = 1 3   14 + 6 - 12 = 8 3 3

E é isso!

Ufa! Terminamos!

Até próxima!

Resposta

8 3 3  

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