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Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

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Enunciado

Considere a seguinte função:

f x ,   y = x e y

  1. Calcule a derivada direcional de f ( x , y ) no ponto P ( 2 ,   1 ) na direção de P a Q ( 1 ,   2 ) .
  2. Determine o(s) valor(es) de α de modo que se v = cos ⁡ α , sin ⁡ α , então D v f 2 ,   1 = e .

Passo 1

Letra a) Bem, aqui não tem muito mistério! Basta aplicarmos a fórmula da derivada direcional que está tudo certo!

A derivada direcional na direção de um vetor u é

D u f ( P ) = ∇ f P ∙ u u

Agora toma cuidado! Quem é esse vetor u aí?

Bem, ele é um vetor do X Y e é justamente o vetor da derivada direcional indicada no exercício. Mas nos cálculos, a gente usa o vetor unitário sempre, que é essa coisa aqui: u u , bele?

Passo 2

Então, antes de tudo, vamos encontrar esse vetor u aí.

Pela fórmula de vetor lá da álgebra, a gente encontra um vetor fazendo a subtração do ponto final pelo ponto inicial, dessa forma aqui

u = Q - P

Substituindo esses pontos

u = 1 ,   2 - 2 ,   1

u = - 1 ,   1

Vetor encontrado, calculemos o seu unitário então, bastando fazer

u u

Lembrando que a norma de um vetor u é a raiz das soma dos termos ao quadrado...

u = - 1 2 + 1 2       ⇒

u = 2

Para aplicar u u , basta a gente dividir todos os termos do vetor por 2

u u = 1 2 - 1 ,   1 = - 1 2 , 1 2

Passo 3

Vamos agora calcular o gradiente da função   f x ,   y = x e y . Temos pela definição de vetor gradiente

∇ f = f x , f y

Calculando essas derivadas parciais...

∇ f = e y ,   x e y

E aplicando no ponto que a gente quer a derivada direcional, ou seja, P ( 2 ,   1 )

∇ f 2 ,   1 = e ,   2 ∙ e 1

∇ f 2 ,   1 = e ,   2 e

Passo 4

Retornando para a equação da derivada direcional:

D u f P = ∇ f P ∙ u u

D u f ( 2 ,   1 ) = e ,   2 e ∙ - 1 2 , 1 2

Lembrando que um produto interno de vetores é você multiplicar termo a termo e somar...

D u f ( 2 ,   1 ) = e - 1 2 + 2 e ∙ 1 2

D u f ( 2 ,   1 ) = - e 2 + 2 e 2 →

simplificando

D u f ( 2 ,   1 ) = e 2

Racionalizando para entregar a resposta com mais elegância matemática ...

D u f ( 2 ,   1 ) = e 2 ∙ 2 2 = 2 2 e

Passo 5

Letra b) Beleza, nesse problema aqui, o que a gente busca é o vetor direcional da derivada, ou seja, um problema inverso do anterior, percebeu? :D

Ok! Mas como vamos começar esse problema?

Bem, se ele é o inverso, nada mais natural que começar de trás pra frente, ou seja, a gente sabe que essa relação é válida

D v f ( 2 ,   1 ) = ∇ f 2 ,   1 ∙ v v

A gente sabe quem é D v , a gente sabe quem é ∇ f 2 ,   1 , portando basta jogar na fórmula e matar o nosso problema de encontrar v !

Passo 6

Apenas vamos lembrar quem é v : pelo enunciado v = cos ⁡ α , sin ⁡ α .

E olha que legal, se a gente calcular a norma desse vetor unitário extraindo a raiz do quadrado seus termos e BLABLABLA a gente obtêm...

v = cos 2 ⁡ α + sin 2 ⁡ α

E o que é esse termo de dentro aí? Sim! Pela trigonometria cos 2 ⁡ α + sin 2 ⁡ α = 1 !

Logo v = cos 2 ⁡ α + sin 2 ⁡ α = 1  

E portanto

v v = v = cos ⁡ α , sin ⁡ α

Passo 7

Substituindo os caras dentro da fórmula do passo 5, ou seja

D v f ( 2 ,   1 ) = ∇ f 2 ,   1 ∙ v v     ⇒

D v f ( 2 ,   1 )   é um dado do problema   D v f ( 2 ,   1 ) = e e ∇ f 2 ,   1 = e ,   2 e , portanto

e = e ,   2 e ∙ cos ⁡ α , sin ⁡ α

Efetuando a o produto interno do lado de lá

e = e cos ⁡ α + 2 e sin ⁡ α

Dividindo todo mundo por e

e e = e cos ⁡ α e + 2 e sin ⁡ α e ⇒

1 = cos ⁡ α + 2 sin ⁡ α

Bem, agora não tem mais nada a ver com derivadas direcionais e sim manipular essa expressão trigonométrica aí, então bora?:)

Passo 8

Passando esses termo do seno para o outro lado

1 - 2 sin ⁡ α = cos ⁡ α

Bem, a gente não sabe trabalhar com essas coisas sem o quadrado, mas espera! Elevamos os lados ao quadrado, uai!!!!:D

cos 2 ⁡ α = 1 - 2 sin ⁡ α 2

resolvendo esse quadrado da soma do lado de lá

cos 2 ⁡ α = 1 - 4 sin ⁡ α + 4 sin 2 ⁡ α

Ué, mas não sei como isso simplifica a minha vida. :\

Bem, simplifica se você se lembrar de que cos 2 ⁡ α + sin 2 ⁡ α = 1 . Logo, a gente pode substituir

cos 2 ⁡ α = 1 - sin 2 ⁡ α

Logo... substituindo

cos 2 ⁡ α = 1 - 4 sin ⁡ α + 4 sin 2 ⁡ α

1 - sin 2 ⁡ α = 1 - 4 sin ⁡ α + 4 sin 2 ⁡ α

Dando aquela simplificada

5 sin 2 ⁡ α - 4 sin ⁡ α = 0

Colocando o seno em evidência

sin ⁡ α 5 sin ⁡ α - 4 = 0

Pra esse produto ser 0 ou sin ⁡ α = 0 ou 5 sin ⁡ α - 4 = 0 .

Do primeiro caso, concluímos que α = arcsin ⁡ 0

E no segundo,

sin ⁡ α = 4 5

Logo

α = arcsin ⁡ 4 5

Resposta

Letra a)

D u f ( 2 ,   1 ) = 2 2 e

Letra b)

α = arcsin ⁡ 0

Ou

α = arcsin ⁡ 4 5

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