UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, 2ª VE - Prof. Sérgio Almaraz - 2014.2, Questão 4c
Considere a curva com e a função . Suponha que e que para todo . Determine:
A derivada direcional de com respeito ao vetor unitário de mesma direção e sentido de .
Passo 1
Olá pessoal, tudo na paz com vocês?
Nessa questão recebemos uma função de duas variáveis dada por:
Como também uma curva já parametrizada dada por:
Aqui precisamos calcular a derivada direcional de na direção de .
Bom, pra fazer isso primeiramente precisamos revisar a fórmula de derivada direcional:
Ou seja, a derivada de uma função na direção de um vetor em um ponto . Tranquilo?
No enunciado também é falado que:
E que:
No caso, pelo enunciado, como , já sabemos que . Logo, podemos usar o resultado que encontramos nos itens anteriores para o gradiente de em :
O maior problema aqui é justamente conseguir encontrar o vetor que possui a mesma direção e sentido de .
Mas, a estratégia vai ser usar a informação da função composta junto com a regra da cadeia para funções de duas variáveis para descobrir quem é .
Vem comigo que vai ficar mais claro 😊
Passo 2
Bom, nós temos que:
Então:
Assim:
Temos também a seguinte informação:
Ou seja:
Pela lei de formação dada para , temos que:
Massa! Agora que destrinchamos um pouco melhor essas informações, vamos ver o que precisamos encontrar.
Ou seja, precisamos encontrar e . Para esses termos aparecerem podemos calcular a derivada de com relação a no ponto . Vê só:
Pela regra da cadeia:
Daí, pela expressão que vimos acima para , temos:
Daí, como estamos falando dessas derivadas para , e vimos que:
Temos:
E, analogamente:
Substituindo na nossa expressão principal, temos:
Além disso, temos que:
Logo, a função assume um valor constante nessa curva. Daí, se derivamos com relação a , trata-se da derivada de uma constante, que vale zero. Por isso:
Isolando , temos:
Perfeito!! Essa relação pode parecer não ajudar muito, mas ela é matadora! Vem comigo!
Passo 3
Encontramos que:
Mas, vimos também no passo anterior que:
Substituindo a relação encontrada nesse vetor, temos:
Portanto galera, é um vetor que está na direção . Viram que top?!
Daí, pra responder o exercício precisamos apenas substituir em:
Assim, temos:
Portanto, a derivada direcional de na direção de vale .
É isso galera, conseguiram entender bem a solução?
Responde Aí!