Funções de Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Derivadas Direcionais
Considere o vetor unitário e a função:
- A função é contínua em ? Justifique!
- Determine as derivadas parciais e .
- Determine a derivada direcional .
- Explique porque o produto escalar não fornece a derivada de em na direção de .
Passo 1
a)
Para a função ser contínua, em qualquer ponto que seja, o limite dela quando ela tende a esse ponto deve ser igual ao valor dela para o tal ponto. Então, como sabemos que na origem o valor da função é , temos que verificar se o limite quando ela tende a é de fato !
Sem mais papo, vamos resolver isso aqui:
Passo 2
Mano, então, para provar que o limite existe e é igual a um número, temos que usar o Teorema do Sanduíche, normalmente –e particularmente, eu odeio isso. Então, antes de mais nada, vamos tentar provar que ele não existe, o que é muito mais fácil, beleza? Provar que não existe um limite nada mais é do que encontrar dois valores diferentes para o limite da função (uma função que tem dois limites não possui limite!).
Então, vamos verificar qual seria o limite se percorrermos a função pela curva (ou seja, pelo próprio eixo ):
Beleza, encontramos como limite. Vamos continuar tentar para outras curvas, pelo menos pra mais duas até partir para o teorema do sanduiche!
Passo 3
Aqui vem uma dica importante: Viu que no numerado temos um produto e no denominador uma soma? Então vamos fazer com que o produto em cima tenha o mesmo grau da soma embaixo. Como o mmc entre , e (graus das variáveis) é 4, se tentarmos pela curva , teremos:
Nossa! Que alívio, conseguimos um outro limite! Viu como é ótimo tentar pelo menos umas duas ou três curvas antes de perder tempo de prova tentando provar um limite que não existe?
Conclusão: Função não é contínua na origem porque o limite quando ela tende a não existe!
Passo 4
b)
Aqui vamos ter que usar a definição de derivada parcial, por que né, não dá pra simplesmente derivar ! Então vamos lá, para a derivada em relação a ,
Colocando , teremos:
Como ,
E aí está! Nossa derivada em relação a é !
Passo 5
Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a . Pela definição,
Como ,
Novamente, nossa derivada deu . Derivada parcial em relação a é !
Passo 6
c)
Como a função não é diferenciável, pois não é contínua, e não podemos usar a definição pelo produto escalar. Vamos fazer pela definição de derivada direcional.
Pegando um vetor qualquer vamos ter
E
Esse limite vai ficar
Esse cara dentro da função não é zero então
A derivada direcional vai ficar
Passo 7
d)
Como a função não é diferenciável, pois não é contínua, e não podemos usar a definição pelo produto escalar.
Resposta
- Função não é contínua na origem porque o limite quando ela tende a não existe!
- ,
- Como a função não é diferenciável, pois não é contínua, e não podemos usar a definição pelo produto escalar.