Seja uma função diferenciável no ponto . Ele possui a seguinte derivada parcial em relação a
Sabendo que a derivada direcional dessa função na direção é
E além disso a derivada direcional desta mesma função na direção é
Determine o valor do vetor gradiente da função no ponto .
Passo 1
Ele quer o vetor gradiente dessa função. Mas como vamos acha-lo? Relaxa, vamos começar usando o que ele deu no enunciado, que são as derivadas direcionais na direção do vetor e na direção do vetor . Lembra que a derivada direcional leva em conta o vetor gradiente? O caminho é por ai. Primeiro vamos achar o vetor gradiente, já que vamos usar esse rapaz na fórmula da derivada direcional.
Já temos uma dessas derivadas, e além disso para facilitar as contas vamos escrever o vetor gradiente assim
Só para deixar mais bonitinho rs.
Passo 2
Começando pelo vetor , devemos fazer a fórmula
Primeiro vamos achar
Passo 3
A derivada direcional vai ser
Esse valor já temos
Passo 4
Vamos agora para o vetor
Primeiro vamos achar
Passo 5
A derivada direcional vai ser
Esse valor já temos
Passo 6
Vamos encontrar o sistema
Somando as duas equações vamos encontrar
Passo 7
Vamos substituir esse valor na segunda equação para acharmos
Passo 8
Lembra de como é o vetor gradiente?
Que vai ficar