Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Enunciado

Lembra como se calcula uma derivada direcional?

Se temos uma função , e queremos a deriva dela na direção do vetor , temos que fazer o seguinte:

Ou seja, temos que fazer o produto interno entre o gradiente da função e o vetor .

O produto interno é uma operação entre dois vetores, que resulta em um número, e segue essa fórmula aqui:

E a fórmula do vetor gradiente de uma função, é essa:

Ok, nosso primeiro passo é calcular esse gradiente. Para isso, precisamos achar as duas derivadas parciais:

E agora em relação a :

Então, o vetor gradiente é:

Agora precisamos achar . O enunciado disse que é um versor (isso quer dizer que é um vetor de módulo igual a ) dado pelo ângulo .

Isso quer dizer o seguinte:

Então quais são as componentes do nosso versor? Já que ele tem comprimento , é só projetarmos ele nos eixos e :

Agora vamos voltar à fórmula da derivada direcional:

Seguindo aquela fórmula do produto interno:

Mas queremos calcular isso no ponto :

Sabemos que e :

Letra (a).