A temperatura (em graus Celsius C ) em uma placa de metal é dada por T(x, y) = 36 - 2*x² - 4*y² , onde x e y são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto P = (2,1) .

Se o objeto seguir na direção do vetor v = (1,1) , ele estará se aquecendo ou esfriando? (Justifique!)

Passo 1

Basta calcular a derivada direcional:

∂ T ∂ v x , y = ∇ T P ⋅ v v

⇒ ∂ T ∂ v x , y = - 8 , - 8 ⋅ ( 1,1 ) 1 2 + 1 2

⇒   ∂ T ∂ v x , y = - 8 , - 8 ⋅ 1 2 , 1 2

⇒   ∂ T ∂ v x , y = - 8 2 - 8 2 = - 16 2

⇒   ∂ T ∂ v x , y = - 16 2 2 = - 8 2 < 0

A derivada direcional é negativa então se o objeto seguir na direção do vetor v ele vai esfriar!

Resposta

Esfriando.

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