UFPE, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Willikat Bezerra - Lista 2, Questão 3b
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em . Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar as direções onde a função aumenta ou diminui mais rápido, isso acontece na direção do vetor gradiente.
Então, vamos começar calculando o vetor gradiente no ponto dado, através das derivadas parciais da função e encontrando o versor (ou vetor unitário) desse gradiente (que é o vetor dividido pelo módulo dele). E as derivadas da função nessas direções vão ser dadas pelo módulo do vetor gradiente, que representa a taxa de crescimento e decrescimento.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais da função :
Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Usando a regra da cadeia, temos:
Agora aplicando no ponto :
Então, nosso gradiente no ponto é dado por:
Passo 3
Agora vamos calcular o vetor unitário do gradiente na forma:
Calculando primeiro o módulo , temos:
Então, o versor de que chamamos de é:
De acordo com a teoria, cresce mais rapidamente na direção e sentido de e decresce mais rapidamente na direção de . Ou seja, na direção de dado um ponto , a função aumenta rapidamente e na direção diminui mais rapidamente:
Passo 4
As derivadas das funções nessas direções, ou melhor, a taxa de crescimento e decrescimento são:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉