UFSC, Sem Campus, Cálculo C, Provas Professor Saeger - P2 2019.2, Questão 3
Calcule a derivada direcional de nos pontos do hiperboloide , na direção normal à este hiperboloide. Expresse o resultado em função de .
Passo 1
Para calcular a derivada direcional de nos pontos do hiperboloide na direção normal a este hiperboloide, você pode usar o gradiente de e o vetor normal ao hiperboloide. Iremos realizar todos os cálculos em função de um ponto arbitrário.
Primeiro, vamos calcular o gradiente de :
Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao hiperboloide . Podemos escrever a equação do hiperboloide na forma implícita como . O vetor gradiente é normal à superfície dada por .
Agora, queremos a direção normal, que é o vetor normal normalizado:
Agora, podemos calcular a derivada direcional de na direção normal ao hiperboloide:
Passo 2
Agora, substituindo (a equação do hiperboloide), obtemos:
Agora, podemos expressar o resultado em função de substituindo pela equação do hiperboloide:
Simplificando: