P2 – Cálculo Diferencial e Integral 2 – 2021.2 – Profª Cláudia Brunosi Medeiros
O potencial numa lâmina plana é dado por em volts.a) Determine a taxa de variação do potencial em (1,1) na direção da origem.
Passo 1
a) Para calcular a derivada de uma função na direção de um vetor em um ponto dado a gente precisa calcular isso aqui
No fundo a gente está fazendo o produto escalar do vetor gradiente daquela função com o vetor unitário associado ao vetor dado. Vamos calcular cada um desses caras agora.
Vamos começar com o vetor unitário. O exercício nos fala que precisamos calcular a derivada no ponto (1,1) na direção da origem. Por isso, o vetor do problema é o vetor que liga o ponto a origem . A gente calcular esse cara fazendo
Uma vez que a gente tem o vetor, vamos calcular seu módulo
Agora a gente divide o vetor pelo seu módulo
Passo 2
Vamos agora calcular o vetor gradiente da função
Lembrando que o vetor gradiente é um vetor que tem como componentes as derivadas parciais da função
Precisamos calcular essas derivadas parciais. Temos então
Vamos calcular agora essas derivadas no ponto
Então temos
Passo 3
Agora podemos calcular a derivada direcional