UFSC, Joinville, Cálculo II, P2 - 2022.2, Questão 4
4. Uma partícula atraída pelo calor tem a propriedade de, em qualquer ponto no plano, mover-se na direção de máximo aumento da temperatura. Se, num determinado local, a temperatura é dada pela função para cada posição , determine a direção em que uma partícula na posição segue se ela é atraída pelo calor.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão temos que obter o vetor direção em que a função temperatura mais cresce no ponto .
Tem ideia de como fazer isso? 🤔
Para resolver esse problema temos que lembrar de alguns conceitos de derivadas direcionais...
Um desses conceitos diz que o vetor que aponta para o maior crescimento de uma função tem a mesma direção e sentido do vetor gradiente dessa função.
Portanto o que temos que fazer é obter o vetor gradiente de e aplicar o ponto ...
O vetor gradiente de uma função é obtido a partir das derivadas parciais dessa função, ou seja
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de com relação a
Agora calculamos a derivada parcial de com relação a
Pela regra da cadeia, temos
Voltando para
Tranquilo até aqui? 😬
Passo 3
Agora vamos substituir as derivadas parciais de no vetor gradiente
Aplicando o ponto .
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
