1. Aqui não tem jeito, temos que testar uma a uma mesmo XD Para uma função ser contínua em um ponto, então o limite quando ela tende a esse ponto existe e é igual ao valor dela no ponto. Partiu então encontrar o limite quando a função tende a .

Aqui temos multiplicando . Então, se ela for limitada, o limite da ! Vamos verificar?

Passo 2

Pelo teorema do sanduiche, teremos:

Se dividirmos tudo por , teremos:

E pronto! Viu como é limitada, entre e ? Então sabemos que o limite da função é ! Como a função realmente assume esse valor em , então ela é contínua!

Passo 3

Agora partiu encontrar o limite da função ?

Antes de partir pro teorema do sanduíche, vamos tentar alguns caminhos? Se percorremos a função pela reta teremos:

E se tentássemos por uma curva que deixasse o grau do parâmetro no denominador igual para e ? Por exemplo, a curva :

Opa! Chegamos exatamente onde queríamos!! Conseguimos um limite diferente do anterior encontrado, . Como a função não pode ter dois limites, então vemos que a função não é contínua em !

Passo 4

Seria muito vacilo passar direto pra letra sem provar que a função é de fato contínua? Hahahaha por via das dúvidas, vamos ver se o enunciado não está nos trolando dizendo que tem apenas uma contínua... Partiu encontrar o limite quando a função tende a .

Bom, essa dispensa explicações, né? Veja lá... se substituirmos direto os valores de e para , não tem indeterminação nenhuma!

Show! É contínua em , pois o limite é igual ao valor que a função assume nesse ponto!

Passo 5

2. Agora que sabemos que é a função que não é contínua em , vamos calcular a derivada direcional? Se temos o vetor , unitário, então o limite

deve existir. É basicamente a mesma coisa que derivada parcial, a diferença é que na definição da derivada parcial são os vetores unitários os eixos cartesianos! Enfim, resolvendo o limite, como , e fazendo e na função ,