Origem do Exercício
Calcule a derivada direcional em se na direção do vetor .
Passo 1
Como se calcula a derivada direcional de uma função , em um ponto e na direção de um vetor ?
Vamos usar essa fórmula aqui:
Ou seja, precisamos fazer o produto interno do vetor gradiente da função e do vetor unitário na direçaõ do .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente. A fórmula dele é essa aqui:
Vamos calcular essas duas derivadas parciais:
E na derivada parcial em relação a , precisamos lembrar que a derivada de é :
Então nosso vetor gradiente é:
Passo 3
E agora precisamos achar o vetor unitário na direção de . Para isso, vamos usar essa fórmula aqui:
Ou seja, só precisamos dividir o vetor pelo seu próprio módulo.
Nesse caso, o módulo do vetor é:
E então o vetor unitário é:
Passo 4
Agora sim, podemos usar a fórmula lá de cima para calcular a derivada direcional:
Como estamos interessados no ponto , vamos substituí-los no lugar de e :
E agora é só fazer o produto interno:
Resposta
A derivada direcional é .