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Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 14 – Seção 6 – Exercício 9

(Capítulo 14.6 – Exercício 9)

(a) Determine o gradiente de f.

(b) Calcule o gradiente no ponto P.

(c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.

f x , y , z = x . e 2 y z

P 3,0 , 2

u = 2 3 , - 2 3 , 1 3

Passo 1

Faaaaala galera! Vamos lá pra mais uma de derivadas?

Nesse exercício aqui, temos uma função f ( x , y , z ) , e queremos:

- Encontrar o gradiente dessa função (pra isso vamos calcular as derivadas parciais dela em x ,   y e z )

- Calcular o gradiente no ponto P que foi dado (aí a gente substitui as coordenadas do ponto P no gradiente que encontramos)

- E a taxa de variação de f no ponto P com direção u (aí a gente usa a expressão de derivadas direcionais: D u f ( x , y , z ) =   ∇ f x , y , z . u

Então vamooos

Passo 2

a) Temos a função

f x , y , z = x . e 2 y z

Vamos começar encontrando as derivadas parciais, com isso poderemos encontrar o vetor gradiente

f x = e 2 y z

f y = 2 . x . z . e 2 y z

f z = 2 x y e 2 y z

Dessa forma, o vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   〈 f x , f y , f z 〉 =   〈 e 2 y z , 2 x z e 2 y z , 2 x y e 2 y z 〉

Passo 3

b) Queremos o gradiente no ponto P 3,0 , 2

Então bora substituir x = 3 ,   y = 0 e z = 2 no vetor que encontramos no passo anterior

∇ f x , y , z = 〈 e 2 y z , 2 x z e 2 y z , 2 x y e 2 y z 〉

∇ f 3,0 , 2 = e 2.0 . 2 , 2.3 . 2 e 2.0 . 2 , 2.3 . 0 e 2.0 . 2

∇ f 3,0 , 2 =   〈 1,12,0 〉

Passo 4

c) Por fim, devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u :

D u f ( x , y , z ) =   ∇ f x , y , z . u

D u f 3,0 , 2 = 1,12,0 . 2 3 , - 2 3 , 1 3

D u f 3,0 , 2 = - 22 3

E fimmm

Resposta

  〈 e 2 y z , 2 x z e 2 y z , 2 x y e 2 y z 〉

〈 1,12,0 〉

- 22 3

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