UFAM– Cálculo 2 – P1 – Questão 5
Calcule a derivada direcional de no ponto e na direção
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou deixá-la mais fácil para você! O problema nos deu uma função de duas variáveis
Mas como assim derivada na direção de um vetor? É que quando estamos falando de superfícies (em 3d) podemos querer saber como essa região está variando em uma determinada direção, como por exemplo ao longo do eixo !
Mas não precisa ser na direção de um dos eixos cartesianos, pode ser na direção de qualquer vetor. O que precisamos garantir é que esse vetor seja UNITÁRIO
Então a primeira coisa a se fazer é encontrar o vetor unitário que esteja na mesma direção do vetor :
E depois? Depois é só aplicar a fórmula da derivada direcional! Ela envolve o produto escalar do vetor gradiente com esse vetor unitário:
E aquele ponto? Bom, queremos saber qual é a derivada direcional no ponto em específico, então achando o vetor gradiente, é só aplicar ele no ponto e fazer o produto escalar!
Vamos seguir esses passos
- Achar o unitário de
- Calcular o gradiente de e aplicar no ponto
- Fazer o produto escalar entre esses dois vetores
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
O vetor é:
E sua norma é:
Aí o vetor unitário associado a ele é:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos calcular o gradiente de e aplicar no ponto . A superfície é:
E o gradiente é:
Beleza? Agora basta aplicar no ponto :
Passo 4
Nosso passo final é fazer o produto escalar entre o vetor gradiente no ponto e o unitário :
E a derivada direcional em é:
E é isso!
Ufa! Terminamos!
Até próxima!