Considere a função e o ponto
Determine:
- O gradiente de em tal ponto.
- As direções em que a derivada direcional de em tal ponto é igual a .
Passo 1
Para calcular o vetor gradiente basta a gente calcular as derivadas parciais da função.
Começando pela derivada parcial em relação a . Usando a regra da cadeia:
Agora para a derivada parcial em relação a vamos precisar da regra do produto e regra da cadeia:
Então, o vetor gradiente é:
No ponto :
Passo 2
Agora queremos encontrar as direções em que a derivada direcional da função vale .
Sabemos que a derivada direcional é calculada pelo produto escalar
Se fizermos o vetor unitário como
Portanto, as direções na qual a derivada direcional da função vale atendem a essa relação.
A gente pode chutar algumas coisas, na base da tentativa e erro.
Passo 3
Vamos lá. Temos que atender
Se a gente fizer
Nosso sistema é atendido e o vetor
É um vetor unitário! Então, já temos uma resposta.
Agora vamos pensar em outra.
Nosso sistema é atendido e o vetor
É também é um vetor unitário! Então, já temos outra resposta.