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Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

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Enunciado

Derivadas Direcionais

Seja a função f x , y = x 3 + x y ² 3

  1. Determine ∂ f ∂ u → ( 0,0 ) para todo vetor unitário  u → = a , b .
  2. É f diferenciável em ( 0,0 ) ? JUSTIFIQUE!
  3. Seja q ≠ 0 . Existe ∂ f ∂ x ( 0 , q ) ?
  4. Em que pontos de R ² é f diferenciável? JUSTIFIQUE!

Passo 1

(a) A questão pede a derivada direcional de f em ( 0,0 ) para qualquer vetor unitário genérico u → = ( a , b ) .

Ficamos tentados a usar a fórmula:

∂ f ∂ u → 0,0 = ∇ f 0,0 ⋅   u →

Mas nesse caso não funciona, basta tentar calcular o gradiente pra ver. Usando a regra da cadeia:

∂ f ∂ x x , y = 1 3 x 3 + x y 2 - 2 3 3 x 2 + y 2

⇒ ∂ f ∂ x x , y = 3 x 2 + y 2 3 x 3 + x y 2 2 3

Se a gente substituir em ( 0,0 ) , vai aparecer uma divisão por zero. E teremos o mesmo problema pra ∂ f ∂ y !

Vamos ter que recorrer à definição formal de derivada direcional pra resolver esse problema. Se u → = ( a , b ) , temos, por definição:

∂ f ∂ u → 0,0 = lim t → 0 ⁡ f 0 + a t , 0 + b t - f 0,0 t

⇒ ∂ f ∂ u → 0,0 = lim t → 0 ⁡ a 3 t 3 + a b ² t ³ 3 t = t 3 ( a 3 + a b 2 ) 3   t = t a 3 + a b 2 3   t = a ( a 2 + b 2 ) 3

Mas o vetor u → é unitário lembra? Isso significa que:

u → = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 = 1

Ótimo né? Agora é só partir pro abraço!

∂ f ∂ u → 0,0 = a * 1 3 = a 3

Ufa! Agora vamos pra questão (b)!

Passo 2

(b)

Agora queremos determinar se f é diferenciável em ( 0,0 ) . Só o fato de não termos conseguido calcular as derivadas parciais em ( 0,0 ) da maneira convencional já é um bom indício de que a função não é diferenciável nesse ponto. Vamos verificar esse palpite!

Podemos calcular ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y usando a relação que achamos em (a), isto é:

∂ f ∂ u → 0,0 = a 3

Afinal de contas, as derivadas parciais não passam de derivadas direcionais no sentido dos vetores unitários î = 1,0 , para o eixo x , e j ^ = 0,1 , para o eixo y . Então partiu! Vamos ter:

∂ f ∂ x 0,0 = ∂ f ∂ î 0,0 = 1 3 = 1

∂ f ∂ y 0,0 = ∂ f ∂ j ^ 0,0 = 0 3 = 0

Logo, o gradiente da função em ( 0,0 ) é:

∇ f 0,0 = 1,0

Passo 3

Beleza, achamos o gradiente, e agora? Simples! Lembra da fórmula da derivada direcional que a gente tentou usar no começo mas não deu certo? Então, agora que temos o gradiente nós podemos usá-la! Se f for diferenciável, vai dar tudo certo, senão, vai dar pra perceber o problema:

∂ f ∂ u → 0,0 = ∇ f 0,0 ⋅   u → = 1,0 ⋅ a , b = a

Ué! A gente tinha achado:

∂ f ∂ u → 0,0 = a 3

Ou seja, pra função ser diferenciável em ( 0,0 ) , teríamos que ter a 3 = a , com a ≤ 1 . Isso só acontece com a = 0 ou a = ± 1 .

Logo, a função f não é diferenciável em ( 0,0 ) .

Show! Vamos pra questão (c)!

Passo 4

(c) Queremos descobrir se ∂ f ∂ x ( 0 , q ) existe, com q ≠ 0 . Bom, uma derivada parcial nada mais é que um limite! Pela definição:

∂ f ∂ x 0 , q = lim x → 0 ⁡ f x , q - f 0 , q x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 3 + x q 2 3 x = lim x → 0 ⁡ x 3 + x q 2 x 3 3 = lim x → 0 ⁡ 1 + q x 2 3 = ∞

O limite não existe, logo também não existe ∂ f ∂ x ( 0 , q ) com q ≠ 0 .

Passo 5

(d)

Vamos dar uma olhada nas derivadas parciais da f . Lembrando que f x , y = x 3 + x y ² 3 .

Já vimos no item (a) que:

∂ f ∂ x x , y = 3 x 2 + y 2 3 x 3 + x y 2 2 3

Também temos, pela regra da cadeia:

∂ f ∂ y x , y = 1 3 x 3 + x y 2 - 2 3 2 x y = 2 x y 3 x 3 + x y 2 2 3

Essas derivadas são contínuas exceto quando o denominador for nulo. E o denominador é igual pras duas derivadas parciais. Então vamos ver quando ele pode dar zero:

3 x 3 + x y 2 2 3 = 0

x 3 + x y 2 = 0

x x 2 + y 2 = 0

x = 0 ou x = 0 E y = 0

Ou seja, em todo caso vamos ter x = 0 . Portanto, ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são contínuas somente se x ≠ 0 . Acabamos de ver no item (b) que a função f não é diferenciável em ( 0,0 ) . Vimos também no item (c) que não existe ∂ f ∂ x ( 0 , q ) com q ≠ 0 . De maneira análoga, não existe ∂ f ∂ y ( 0 , q ) com q ≠ 0 . Portanto, f não é diferenciável em 0 , q ; q ≠ 0 .

Logo, a função f é diferenciável em todos os pontos ( x , y ) com x ≠ 0 .

Resposta

a)     a 3

b) Não.

c) Não.

d) Todo o R ² , exceto quando x = 0 . ∎

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