Origem do Exercício
Considere a função .
Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F):
( ) A derivada da função em na direção do vetor é nula.
( ) A função aumenta mais rapidamente na direção do vetor .
( ) Existe uma direção na qual a taxa de variação da função é .
( ) A taxa da variação da função é .
( ) A reta tangente à curva no ponto é .
- (1) V (2) V (3) V (4) V (5) F
- (1) F (2) V (3) V (4) V (5) F
- (1) V (2) V (3) F (4) V (5) V
- (1) V (2) V (3) F (4) V (5) F
- (1) V (2) V (3) V (4) F (5) F
Passo 1
Vamos analisar uma afirmação de cada vez. Começando pela primeira: qual é a derivada da função em na direção do vetor .
Ok, estamos falando de derivadas direcionais, ou seja, derivadas calculadas na direção de um vetor específico. Vamos lembrar como se calcula uma derivada desse tipo.
A derivada direcional de , na direção de , é:
Na direita, estamos fazendo o produto escalar de dois vetores: o gradiente da função, e o vetor .
O enunciado já deu o vetor :
Mas falta calcular o gradiente.
Passo 2
O vetor gradiente de uma função no plano segue essa fórmula aqui:
Vamos calcular essas derivadas:
Lembre-se de que, quando derivamos em relação a , o se comporta como uma constante:
E podemos fazer quase a mesma coisa para calcular a outra derivada parcial:
Ok, então nosso vetor gradiente é:
Passo 3
Agora vamos calcular o produto escalar desse gradiente com o vetor que o enunciado deu. Lembra como se calcula um produto escalar?
Então:
E calculando isso no ponto :
Então a primeira afirmação é verdadeira!
Passo 4
A segunda afirmação é que essa mesma função cresce mais rapidamente na direção do vetor .
Bom, agora nós já sabemos calcular a derivada direcional, e já temos o gradiente. Vamos supor também que a questão está se referindo ao mesmo ponto da afirmação anterior.
A derivada direcional é:
Substituindo o gradiente que nós já calculamos e o vetor que o enunciado deu:
Agora fazemos o produto interno:
E agora é só substituir no ponto :
Como o e , a derivada direcional nesse ponto é:
Que de fato é maior do que o que achamos no item anterior, isso quer dizer que essa afirmativa é verdadeira.
Passo 5
A terceira afirmativa parece correta, já que acabamos de calcular uma derivada direcional que resultou em .
Entretanto, se formos bastante exigentes, veremos que não é correto dizer que a taxa de variação é em uma direção. O que nós achamos é a taxa de variação em uma direção NO PONTO , o valor pode perfeitamente ser diferente em outros pontos naquela mesma direção!
Então essa afirmativa é falsa.
Passo 6
A quarta alternativa também tem uma formulação estranha, mas vamos novamente supor que está se referindo ao ponto .
Nesse caso, “taxa de variação da função” pode se referir ao módulo do vetor gradiente nesse ponto (apesar de ser uma nomenclatura pouco comum). Na verdade, já que a afirmativa não especifica uma direção em que deveríamos calcular essa taxa, essa é a única opção que temos.
Já calculamos o vetor gradiente dessa função:
Se calcularmos esse vetor no ponto
E como calculamos o módulo de um vetor?
Usando essa fórmula no vetor gradiente:
Ou seja, a quarta afirmativa é verdadeira!
Passo 7
A última afirmação diz que a reta tangente à curva no ponto é .
Essa afirmação tem o mesmo problema da terceira! Não é específica o suficiente. Como estamos falando de uma superfície, existem infinitas retas tangentes a cada ponto, que formam o famoso plano tangente.
Dê uma olhada no que encontramos quando fazemos o gráfico da :
Portanto, a última afirmativa é falsa.
Resposta
Letra (d).