Determine a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .
Passo 1
Antes de mais nada, vamos lembrar como se calcula a derivada direcional de uma função na direção de um vetor , ok? Ela é dada por:
Show! Então precisamos de uma função , de um vetor e de um ponto . No nosso caso vamos ter:
- A vai ser a , com . Aliás, engraçada essa função, só tem letra!
- O vetor vai ser , com . Beleza, mas vai ser melhor com um vetor bonitinho, do tipo . E o vetor nada mais é que o vetor . Ou seja, . Excelente!
- E o ponto vai ser o ponto .
Passo 2
Vamos precisar do gradiente da né? Então vamos calcular as derivadas parciais!
Então o gradiente da é:
Mas o que nos interessa é no nosso ponto , o ponto :
Passo 3
A última coisa que precisamos pra poder aplicar a fórmula é o módulo do vetor . Então vamos calculá-lo:
Passo 4
Firmeza! Agora podemos jogar o que achamos na fórmula do começo:
Uhul, achamos! A derivada direcional é .