Funções de Várias Variáveis, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Derivadas Direcionais, Regra da Cadeia
A função é diferenciável em e a parábola é a curva de nível de . Sabe-se ainda que a imagem da curva
está contida em .
Determine o vetor e calcule a derivada direcional de em e na direção e sentido do versor de .
Passo 1
Sabemos que a parábola é uma curva de nível 2, certo? Então, o vetor tangente no ponto dessa curva é perpendicular ao vetor gradiente de no mesmo ponto, pois o vetor gradiente é normal a curva de nível!
Sendo assim, vamos, antes de mais nada, parametrizar a parábola, para depois derivar sua equação:
Chamando , teremos:
E a parábola fica sendo
Essa terceira coordenada igual a é para nos lembrar de que ela é uma curva de nível , logo, está no plano ;)
Passo 2
Agora, derivemos a equação da parábola:
E vamos dizer que o produto escalar entre esse vetor e o é , pois são perpendiculares!
Como o vetor gradiente de é formado pelas derivadas parciais,
Ok, mas e o valor desse parâmetro ? Quando ele vale? Ele deve ser tal que, na equação da parábola, dê o ponto ! Então, ele deve valer , pois . E, colocando na equação do produto escalar aqui em cima, teremos:
Lembrando, também, que as derivadas parciais e são ambas calculadas no ponto ! Não escrevi na equação para a visão não ficar poluída.
Passo 3
Ok, temos agora que analisar a outra curva que nos foi dada, e descobrir mais uma relação entre as derivadas parciais, para podermos juntar com a que acabamos de encontrar, resolver um sistema, e, enfim, conseguir esse vetor gradiente!
Sem mais papo, aqui podemos fazer a mesma coisa que fizemos com a parábola! E ainda temos menos trabalho, pois a curva já está parametrizada ;) Então, se temos
Pela regra da cadeia, temos a relação a seguir:
E, agora, é só substituir valores! Lembrando, que, como é função de duas variáveis, se a curva está contida em , então
Ou seja, colocando o parâmetro na curva, teremos o mesmo valor para a terceira coordenada que teríamos colocando e em . Então, nessa equação aí de cima, é composta pelas duas primeiras coordenadas derivadas de , e é a terceira coordenada de derivada também :D
Passo 4
Dito isto, comecemos a calcular as derivadas todas que vêm por aí. Começando pela derivada da curva. Para isso, basta derivar cada componente no seu respectivo lugar:
Agora que temos as derivadas das coordenadas de , vejamos o valor que deve assumir para que tenhamos o ponto :
Viu? Colocando , temos as duas primeiras coordenadas de iguais a . Fui direto por que isso é basicamente olha pra componente ou e ver o que você colocaria para dar o resultado que você quer XD
Passo 5
Colocando na equação da derivada, teremos:
Agora, substituindo as duas primeiras coordenadas em e a terceira em , na equação da regra da cadeia, temos:
Passo 6
Juntando essa nova relação com a anterior, temos:
Resolvemos o sistema somando uma equação com a outra:
E, colocando esse valor na equação de cima,
Aí sim!! Conseguimos, finalmente, encontrar o vetor gradiente!!
Passo 7
b) Essa agora é simples! Só precisamos da definição de derivada parcial, e, como já temos o vetor gradiente e o vetor diretor da derivada, só substituir valores!
Como , . Como ,
Resposta
a)
b)