UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas Moodle - 2022.1 - Questão 1a
Considere a função e .
Se é unitário apontando na direção que tem maior taxa de decrescimento, em , então e a derivada direcional nessa direção é ?;
Passo 1
Oiie, tudo bem?
O enunciado nos deu a seguinte função
e um ponto qualquer . E, esta alternativa nos pede para calcularmos as componentes do vetor , que é um vetor unitário apontando para a direção da maior taxa de decrescimento no ponto dado. Assim como, precisamos calcular a derivada direcional! Como fazer isso?
O vetor gradiente de uma função nos dá a direção de maior crescimento (decrescimento) da função, portanto, podemos começar calculando o vetor gradiente! Ainda temos que calcular a derivada direcional nesta direção, o que seria isso? A definição é
Quando formos resolver explico melhor o que são cada um dos índices se não ficou claro para você! Vamos lá!
Passo 2
A primeira coisa, é calcular o vetor gradiente definido por
ou seja, precisamos calcular ambas as derivadas parciais. Primeiro, temos que
A primeira das duas derivadas acima pode ser resolvida usando a regra do tombo
e, temos que
A segunda derivada é aplicada em um produto de funções, portanto, vamos precisar aplicar a regra do produto
em que e . Usando a regra do tombo para a derivada de , como fizemos acima, e lembrando que a derivada parcial em toma como constante, temos então que
ou seja, temos que a nossa derivada é
Uff… agora precisamos calcular a derivada em , e avaliar no ponto desejado! Vamos lá!
Passo 3
A derivada em é bem mais direta, temos que
mas lembre que como a derivada parcial é em , todo é visto como constante, portanto, temos que
ou simplesmente, temos que
Nosso vetor gradiente é dado então por
Avaliando no ponto , temos que
Esse ainda não é o vetor que queremos! Esse aí é um vetor que indica a direção de maior crescimento da função, queremos o vetor unitário de maior decrescimento! Então vamos mexer um pouquinho no vetor acima!
Passo 4
Primeiro, queremos que o vetor seja unitário, portanto, vamos usar que
usando que
ou seja, nosso vetor unitário é dado por
mas, esse ainda é a direção de maior crescimento, queremos a menor! Mas, isso é bem simples, é só tomarmos que
Ótimo!!! A primeira lacuna está resolvida! Vamos para a próxima!
Passo 5
Agora queremos a derivada direcional dada por
essa somatória pode ser expandida como
em que calculamos anteriormente que
e
portanto, temos que
e
e, usando que , podemos identificar que e , portanto, a derivada direcional é dada por
ou, simplesmente
A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
e