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Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

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Enunciado

Derivadas Direcionais

Sejam u = 1 2 , 1 2 e v = 1 5 , 2 5 . Sabendo que f ( x , y ) é uma função diferenciável tal que

∂ f ∂ u 0,0 = 1     ∂ f ∂ v 0,0 = 2 ,

podemos afirmar que:

(a) ∇ f 0,0 = 2 2 - 2 5 i + 2 5 - 2 j .

(b) ∇ f 0,0 = 5 - 2 i + 5 - 2 j .

(c) ∇ f 0,0 = 2 - 5 i + 5 - 2 j .

(d) ∇ f 0,0 = 5 - 2 i + 2 2 - 5 j .

(e) ∇ f 0,0 = 2 2 - 5 i + 2 5 - 2 j .

Passo 1

Vamos relembrar a fórmula da derivada direcional:

∂ f ∂ u = ∇ f ( P 0 ) ⋅ u u

Nessa questão já temos as derivadas direcionais e queremos achar o gradiente! Então

∂ f ∂ u 0,0 = 1   ⇔     ∇ f 0,0 ⋅ u u = 1  

Repare que o vetor u é unitário:

u = 1 2 , 1 2

⇒   u = 1 2 2 + 1 2 2 = 1 2 + 1 2 = 1 = 1

Logo:

∇ f 0,0 ⋅ u = 1

f x 0,0 , f y 0,0 ⋅ 1 2 , 1 2 = 1

⇒     f x 0,0 2 + f y 0,0 2 = 1

Multiplicando tudo por 2 :

f x 0,0 + f y 0,0 = 2

Passo 2

Beleza, vamos usar o mesmo raciocínio, agora com o vetor v :

∂ f ∂ v 0,0 = 2   ⇔     ∇ f 0,0 ⋅ v v = 2  

Vamos achar o módulo de v :

v = 1 5 2 + 2 5 2

⇒   v = 1 5 + 4 5 = 1 = 1

v também é unitário, ou seja

∇ f 0,0 ⋅ v = 2

⇒     f x 0,0 , f y 0,0 ⋅ 1 5 , 2 5 = 2

⇒   f x 0,0 , f y 0,0 ⋅ 1 5 , 2 5 = 2

⇒     f x 0,0 5 + 2 f y 0,0 5 = 2

Multiplicando tudo por 5 :

f x 0,0 + 2 f y 0,0 = 2 5

Passo 3

Show! Obtivemos um sistema:

f x 0,0 + f y 0,0 = 2 f x 0,0 + 2 f y 0,0 = 2 5

Vou escrever f x e f y em vez de f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 ) pra leitura não ficar muito pesada, beleza?

Pela primeira equação, temos

f x = 2 - f y

O que na segunda equação dá:

2 - f y + 2 f y = 2 5

⇒     f y = 2 5 - 2

Ótimo, então

f x = 2 - 2 5 - 2 = 2 2 - 2 5

Podemos concluir que

∇ f 0,0 = ( 2 2 - 2 5 ,   2 5 - 2 )  

⇒     ∇ f 0,0 = 2 2 - 2 5 i + 2 5 - 2 j

Resposta

Alternativa (a)

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