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Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

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Enunciado

Determine a taxa de variação de f x , y , z = x y z + e 2 x + y no ponto P 0 = - 1,2 , 1 na direção do vetor u = 1,1 , 2 .

Passo 1

Calcular módulo do vetor u :

u = 1 2 + 1 2 + 2 2

⇒ u = 1 + 1 + 2

⇒ u = 4

⇒ u = 2

Passo 2

Calcular vetor gradiente:

f x , y , z = x y z + e 2 x + y

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

⇒ ∇ f x , y , z = y z + 2 e 2 x + y ,   x z + e 2 x + y ,   x y

Passo 3

Calcular vetor gradiente no ponto P 0 :

∇ f x , y , z = y z + 2 e 2 x + y ,   x z + e 2 x + y ,   x y

∇ f P 0 = ∇ f - 1,2 , 1

⇒ ∇ f P 0 = 2 1 + 2 e 2 - 1 + 2 ,   - 1 1 + e 2 - 1 + 2 ,   - 1 2

⇒ ∇ f P 0 = 2 + 2 e 0 ,   - 1 + e 0 ,   - 2

⇒ ∇ f P 0 = 4 ,   0 ,   - 2

Passo 4

Calcular derivada direcional:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u  

⇒ ∂ f ∂ u P 0 = 4,0 , - 2 ⋅ 1,1 , 2 2

∂ f ∂ u P 0 = 1 2 4,0 , - 2 ⋅ 1,1 , 2

∂ f ∂ u P 0 = 1 2 4 1 + 0 1 + - 2 2

∂ f ∂ u P 0 = 1 2 4 + 0 - 2 2

∂ f ∂ u P 0 = 1 2 4 - 2 2

⇒ ∂ f ∂ u P 0 = 2 - 2

Resposta

∂ f ∂ u P 0 = 2 - 2

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