Seja uma função diferenciável no ponto e considere os vetores e .

1. Sabendo-se que

calcule e

2. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto , onde .
3. Considere uma curva no plano parametrizada por

Onde é uma função diferenciável tal que . Sabendo-se que em é , calcule .

Calcular vetor gradiente:

Nesse caso nao temos a função para derivar então vamos direto para o vetor gradiente no ponto

Calcular vetor gradiente no ponto :

Calcular derivada direcional de , mas lembre-se que sabemos o valor dela nessa direção!!

Só essa equação nao resolve.

Vamos agora para o vetor , primeiro calcular módulo do vetor :

Já encontramos o vetor gradiente nesse ponto no passo 3. Vamos agora calcular a derivada direcional

Temos então o seguinte sistema

Se somarmos a primeira equação com a segunda vamos eliminar

Substituindo esse valor em uma das equações vamos ter

b)

A equação do plano tangente vai ser

Equação do plano:

Precisamos achar o vetor normal. Para isso fazemos primeiro

E agora calculamos o gradiente de

O vetor normal vai ser

A equação do plano tangente vai ser

c)

Como ele da o valor de é uma dica que vamos em algum momento usar .

Repara que os valores de e são os mesmos da questão. Ele deu , lembra da regra da cadeia?

Lembra da regra da cadeia?

Vamos agora achar

Já temos os valores das derivadas e

Substituindo tudo que temos e que calculamos vamos ter