Sejam a função
E um ponto em .
Determine os pontos que satisfazem as duas condições abaixo:
- e paralelo à reta tangente a curva no ponto
- , onde é o versor do vetor
Passo 1
Da condição da letra , temos que se o vetor gradiente de é paralelo a reta tangente a curva dada, então o vetor gradiente de é perpendicular ao vetor gradiente a curva no ponto , que é naturalmente um vetor perpendicular a curva.
Se chamarmos a curva de , temos
E
Assim
Passo 2
Como eu disse antes, esse vetor é perpendicular ao vetor . Isso quer dizer que:
Ou seja
Assim, temos
Beleza, vamos guardar isso então e usar agora a segunda condição que a questão deu pra gente.
Passo 3
Essa segunda condição diz que
Ou seja
Opa, agora temos mais uma equação com e .
Passo 4
Ficamos então com o sistema:
Somando as duas equações:
E, substituindo esse resultado na primeira equação:
Ou sejeeeee, os pontos que satisfazem as duas condições da questão são
E