Seja dada por
(a) Determine, caso existam, e .
(b) A função é diferenciável em ?
(c) Determine, caso exista, a derivada direcional para
Passo 1
Vamos calcular as derivadas parciais em ? Vamos começar com , fazendo esse limite:
O que na nossa função estranha vai dar:
Perfeito, então
Passo 2
Firmeza, agora vamos pra derivada parcial em relação a :
O que vai dar:
Portanto
Passo 3
Achamos as derivadas parciais em mas infelizmente isso não garante a diferenciabilidade da função nesse ponto. Para isso vamos ter que verificar se esse limitão bizarro abaixo é realmente igual a zero.
O limite vai ficar:
Passo 4
Vish, tá meio esquisito isso daí né? Mas pode ficar tranquilo! Vamos primeiro assumir que o limite não dá .
Lembra que em funções de várias variáveis podemos chegar em um limite por infinitos caminhos?! Então, basta verificar que um caminho não dá certo pra provar que o limite está errado! Vamos escolher um caminho que facilite nossas contas, como . Assim vamos ter:
Quando esse sai da raíz ele sai como , assim:
Assim, se e teremos:
Já se e teremos:
Ou seja, achamos dois resultados diferentes pro limite. Isso significa que ele não pode existir.
E se esse limitão não existe, ele obviamente não pode ser igual a zero.
Mas lembra que pra nossa função ser diferenciável esse limitão tinha que dar zero?
Quer dizer então que nossa função não é diferenciável na origem.
Passo 5
Agora temos que determinar a derivada direcional para .
Mas, da letra , já sabemos que nossa não é diferenciável em , o que significa, que pra calcular essa derivada direcional, teremos que usar a definição de derivada direcional. Assim:
Substituindo os dados do problema:
Resposta
e
Não.