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Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 30a

Seja f x ,   y = x 3 y x 6 + y 2     s e   x ,   y ≠ 0 ,   0 0     s e   x ,   y = 0 ,   0 .

a) Seja v = ( α ,   β ) vetor unitário. Calcule ∂ f ∂ v ( x ,   y ) para x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um vetor unitário, v = ( α ,   β ) , e uma função definida por partes, que é f ( x ,   y ) . Nós queremos calcular a derivada parcial de f em relação a v , quando x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) , ou seja, para f x ,   y = x 3 y x 6 + y 2 .

Repare que essa é uma derivada direcional, porque tem a direção do vetor v . E existe um teorema que nos diz que se f é uma função diferenciável de x e y , então f tem derivada direcional na direção de qualquer vetor u = ( a ,   b ) . E essa derivada é dada por:

D u f x ,   y = f x x ,   y a + f y x ,   y b

É esse teorema que nós vamos usar para calcular nossa derivada, com a ,   b = ( α ,   β ) , f x = ∂ f ∂ x e f y = ∂ f ∂ y .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de f x ,   y = x 3 y x 6 + y 2 em relação a x :

f x = ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 3 y x 6 + y 2

f x = 3 y ( - x 8 + x 2 y 2 ) x 6 + y 2 2

Agora derivando f em relação a y , vamos ter:

f y = ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 3 y x 6 + y 2

f y = x 3 ( x 6 - y 2 ) x 6 + y 2 2

Passo 3

Agora vamos juntar esses resultados, de acordo com o teorema que vimos no passo 1 , para obter a derivada direcional de f na direção do vetor v = ( α , β ) :

D u f x ,   y = f x x ,   y α + f y x ,   y β

D u f x ,   y = 3 y ( - x 8 + x 2 y 2 ) x 6 + y 2 2 α + x 3 ( x 6 - y 2 ) x 6 + y 2 2 β

D u f x ,   y = 3 y α - x 8 + x 2 y 2 + x 3 β ( x 6 - y 2 ) x 6 + y 2 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D u f x ,   y = 3 y α - x 8 + x 2 y 2 + x 3 β ( x 6 - y 2 ) x 6 + y 2 2

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