A temperatura de uma chapa plana é dada por , com e em e em Calcule de quanto ela varia aproximadamente, se caminharmos a partir do ponto na direção do vetor que faz um ângulo com o semi-eixo positivo, se:
Passo 1
A taxa de variação de uma função na direção de um vetor é a sua derivada direcional na direção desse vetor!
Então, a questão se resume a calcular a derivada direcional da função no ponto , na direção do vetor de norma que faz ângulos e com o eixo .
Para isso, só usar a fórmula da derivada direcional:
Em que é o tal vetor de norma (por que o enunciado diz que andamos em cada direção).
Passo 2
a)
Para o vetor que faz angulo , teremos:
Ou seja, apenas decompomos seu módulo nas coordenadas em (tipo em coordenadas polares, saca?).
Como seu módulo já é , então nem precisamos colocar mais esse na equação.
Passo 3
Ok, agora só falta encontrar o vetor gradiente. Para isso, pegamos a função e montamos um vetor com suas derivadas parciais:
Show! Agora só tacar tudo na equação da derivada parcial ;)
Passo 4
Ajustando no lado direito o ponto, colocando e ,
Fazendo o produto escalar:
E aí está! Resposta encontrada, taxa de variação de
Passo 5
b)
Vamos repetir a mesma, mesmíssima coisa para a letra . Recomendo clicar em “esconde aí” e tentar fazer essa sozinho ;) Pode ser trivial, mas faz pra ver se pegou a ideia. Vou até começar a resolução no próximo passo pra você ficar menos tentado(a) :D
Passo 6
Vamos matar logo isso. Pega a equação da derivada:
Como a função é a mesma, esse vetor gradiente não muda! Continua ... Agora temos outro vetor , de mesma norma, , mas com . Então, só colocar esse novo ângulo na equação também. Assim como na letra , nao precisamos dividir pela norma, por que ela já é !
Como o ponto continua sendo ,
Passo 7
Fazendo o produto escalar, já colocando os valores dos cosseno e seno, lembrando que tem simetria com ,
E pronto, o outro valor da derivada direcional está aí :)