Se v(t) = | r(t) × r' (t) | ≠ 0 , use as propriedades da derivada de funções escalares e vetoriais para mostrar que

v' (t) = (r × r') • (r × r'') / | r × r' |

Passo 1

Para demonstrar a expressão ( v ' t = r → × r ' → ⋅ r → × r ' ' → r → × r ' → ) a partir da equação ( v t = r → × r ' → ) , podemos utilizar propriedades da derivada de funções escalares e vetoriais.

Primeiro, vamos escrever a expressão ( v t ) de forma mais detalhada:

[ v t = r → × r ' → = r → × r ' → ⋅ r → × r ' → ]

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a ( t ) :

[ v ' t = d d t r → × r ' → ⋅ r → × r ' → ]

Para derivar a raiz quadrada da magnitude de um vetor, podemos usar a regra da cadeia:

[ v ' t = 1 2 r → × r ' → ⋅ r → × r ' → ⋅ d d t r → × r ' → ⋅ r → × r ' → ]

Agora, aplicamos a regra do produto na derivada:

[ v ' t = 1 2 r → × r ' → ⋅ r → × r ' → ⋅ 2 r → × r ' → ⋅ r ' → × r ' ' → ]

Passo 2

Agora, vamos simplificar:

[ v ' t = r → × r ' → ⋅ r ' → × r ' ' → r → × r ' → ⋅ r → × r ' → ]

E esta é a expressão desejada:

[ v ' t = r → × r ' → ⋅ r ' → × r ' ' → r → × r ' → ]

Assim, demonstramos que ( v ' t = r → × r ' → ⋅ r ' → × r ' ' → r → × r ' → )

a partir da equação ( v t = r → × r ' → )

usando as propriedades da derivada de funções escalares e vetoriais.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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