Considere a função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = x | x | .

b Existe f'(0) ?

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos uma função f : ℝ → ℝ , com a definição

f ( x ) = x | x |

precisamos determinar se existe f ' ( 0 ) . Para isso, vamos lembrar a definição de derivada

f ' ( 0 ) = l i m h → 0 f ( 0 + h ) - f ( 0 ) h

Se esse limite existir, a nossa derivada existe! Bora lá!

Passo 2

Como podemos garantir que esse limite existe? Podemos calcular os limites laterais usando a nossa função

f ( x ) = x | x |

note que pela definição de módulo temos que | x | = - x se x < 0 e | x | = x se x > 0 , portanto, assim como na alternativa anterior, podemos escrever que

f ( x ) = - x 2 se x < 0 e f ( x ) = x 2 se x > 0

Sendo assim os limites laterais se tornam

l i m h → 0 + f ( 0 + h ) - f ( 0 ) h = l i m h → 0 + ( 0 + h ) 2 - 0 h = l i m h → 0 + h 2 h

que é simplesmente

l i m h → 0 + h 2 h = 0

e, da mesma forma, temos que

l i m h → 0 - - h 2 h = 0

portanto, o limite existe, sendo assim, a função é diferenciável! Essa alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Até já!

Resposta

A derivada existe!

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