UFF, Niterói - Campus da Praia Vermelha, Cálculo IA, P1 - 2022.2, Questão 1c
Considere a função
c) é uma função diferenciável em todo seu domínio?
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão nos pergunta se a seguinte função é diferenciável em todo o seu domínio:
Lembrando que já descobrimos o domínio da função na letra a):
Agora, para verificar a diferenciabilidade de em todo o seu domínio, precisamos analisar a continuidade da função e, em seguida, verificar se a derivada existe para todos os pontos dentro do domínio.
E aí, bora lá?
😉
Passo 2
Vamos analisar primeiramente a continuidade para .
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
A função é composta por um polinômio e o produto de duas funções contínuas e .
A soma e o produto de funções contínuas resultam em uma função contínua.
Portanto, é contínua para .
A função é definida como .
No entanto, podemos verificar que a função é contínua em , pois:
Portanto, a função é contínua em todo o seu domínio, inclusive em .
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de para determinar se ela existe em todo o seu domínio.
Logo, vemos que a derivada existe para todos os valores de diferentes de zero.
Passo 4
Para calcular a derivada em x = 0, usamos a definição de derivada:
Substituindo e , temos:
Aplicando o limite, temos:
Percebemos que temos uma forma indeterminada do tipo .
Nesse caso aqui, vamos utilizar o Teorema do Confronto para verificarmos a derivada em :
Sabemos que:
Multiplicando por , temos:
Somando com , temos:
Tomando o limite quando se aproxima de , temos:
e
Dessa forma, pelo Teorema do Confronto, temos que:
Concluindo, temos que a derivada de existe em todos os pontos do domínio, incluindo .
Portanto, a função é diferenciável em todo o seu domínio.
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
A função é diferenciável em todo o seu domínio