Construa uma função f : R → R derivável num único ponto.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... Uma função que é derivável em um único ponto é uma função que tem derivada em apenas um ponto do seu domínio.

E aí?? Lembra de alguma função assim?

Bom, e a função f x = x ?? Bora ver??

Passo 2

Bom... vamos verificar da seguinte forma:

f x = x ,   s e   x ≠ 0 f x = 0 ,   s e   x = 0

A função f ( x ) é contínua em todos os pontos de R , mas é derivável apenas em x = 0 .

Para verificar isso, podemos usar a definição de derivada, veja:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h - f 0 h ∴

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f h h ∴

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ h h

Agora vamos analisar para h > 0 e para h < 0 .

Passo 3

Assim, para h > 0 , temos:

lim h → 0 + ⁡ h h = lim h → 0 + ⁡ h h ∴

lim h → 0 + ⁡ h h = 1

E, para h < 0 , temos:

lim h → 0 - ⁡ h h = lim h → 0 - ⁡ - h h ∴

lim h → 0 - ⁡ h h = - 1

Portanto, o limite não existe e f ( x ) não é derivável em nenhum outro ponto diferente de x = 0 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f x = x ,   s e   x ≠ 0 f x = 0 ,   s e   x = 0

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