UFU – Cálculo 2 – Lista 1 – Questão 27b
Decida se cada função a seguir é ou não diferenciável na origem. Justifique!
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa nos dando essa função definida por partes
E pediu para determinar se a função é diferenciável na origem! E agora, como fazer?
Uma função é diferenciável se satisfazer as seguintes condições
- Ela precisa ser contínua
- Possuir derivadas parciais (Derivadas parciais existem e são contínuas)
- E por fim o erro precisa ser zero
Lembrando que a primeira coisa que você vai tentar é substituir os valores na função! Se você encontrar alguma indeterminação, aí tentamos outras técnicas, se não, é só substituir mesmo!
Bora substituir!
Opa! Encontramos uma indeterminação! Então precisamos usar alguma técnica!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
A primeira é a dos múltiplos caminhos! Vamos supor que , em que é uma constante qualquer. Se o resultado independer de , então o limite existe. Mas se depender de então dizemos que o limite não existe, ok!
Bora começar!
Sendo assim para que o primeiro critério seja satisfeito,
Temos que o limite é zero, então essa função é contínua! Primeira condição satisfeita!
Passo 3
A segunda é calcular as derivadas parciais! Bora aplicar a definição!
Agora em
Temos assim que as duas derivadas existem, são contínuas e valem zero! Segundo critério satisfeito!
Passo 4
Agora por fim precisamos analisar se o erro é zero! O erro é
As parciais e valem zero. E queremos saber se a função é diferenciável em , assim temos
Nossa missão é calcular o limite de . Vamos supor que , em que é uma variável muda. Se existir o limite, então tudo certo!
Bora começar!
Quando temos
E para temos
Sendo assim o limite existe! E o terceiro critério foi satisfeito e temos que a função é diferenciável
Beleza? Es
pero ter ajudado!
Até a próxima!