Decida se cada função a seguir é ou não diferenciável na origem. Justifique!

b )   f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 2   s e   x , y ≠ ( 0,0 ) M     s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função definida por partes

f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 2   s e   x , y ≠ 0,0 M     s e   x , y = 0,0

E pediu para determinar se a função é diferenciável na origem! E agora, como fazer?

Uma função é diferenciável se satisfazer as seguintes condições

  1. Ela precisa ser contínua
  2. Possuir derivadas parciais (Derivadas parciais existem e são contínuas)
  3. E por fim o erro precisa ser zero

Lembrando que a primeira coisa que você vai tentar é substituir os valores na função! Se você encontrar alguma indeterminação, aí tentamos outras técnicas, se não, é só substituir mesmo!

Bora substituir!

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0 0 + 0 = 0 0

Opa! Encontramos uma indeterminação! Então precisamos usar alguma técnica!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A primeira é a dos múltiplos caminhos! Vamos supor que y = m x , em que m é uma constante qualquer. Se o resultado independer de m , então o limite existe. Mas se depender de m então dizemos que o limite não existe, ok!

Bora começar!

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 2 = lim x , m y 2 → 0,0 ⁡ x 4 m x 2 ( 1 + m 2 )

= m ( 1 + m 2 ) lim x , mx → 0,0 ⁡ x 2 = 0

Sendo assim para que o primeiro critério seja satisfeito, M = 0

Temos que o limite é zero, então essa função é contínua! Primeira condição satisfeita!

Passo 3

A segunda é calcular as derivadas parciais! Bora aplicar a definição!

∂ f ∂ x = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f ( 0,0 ) x - 0 = x 2 0 2 x 2 + 0 2 - 0 x = 0

Agora em y

∂ f ∂ y = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f ( 0,0 ) y - 0 = 0 2 y 2 0 2 + y 2 - 0 y = 0

Temos assim que as duas derivadas existem, são contínuas e valem zero! Segundo critério satisfeito!

Passo 4

Agora por fim precisamos analisar se o erro é zero! O erro é

lim h , k → ( 0,0 ) ⁡ f x + h ,   y + k - f 0,0 - ∂ f ∂ x . h - ∂ f ∂ y . k h 2 + k 2

As parciais e f ( 0,0 ) valem zero. E queremos saber se a função é diferenciável em x = y = 0 , assim temos

lim h , k → 0,0 ⁡ f h ,   k h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 k 2 h 2 + k 2 h 2 + k 2 =

lim h , k → ( 0,0 ) h 2 h 2 + k 2 ⏝ limitada ⁡ k 2 h 2 + k 2

Nossa missão é calcular o limite de k 2 h 2 + k 2 . Vamos supor que h = k = t , em que t é uma variável muda. Se existir o limite, então tudo certo!

Bora começar!

lim t → ( 0 ) ⁡ t 2 t 2 + t 2 = lim t → 0 ⁡ t 2 | t | 2

Quando t + temos

lim t → 0 ⁡ t 2 t 2 = lim t → 0 ⁡ t 2 = 0

E para t - temos

lim t → 0 ⁡ t 2 - t 2 = lim t → 0 - ⁡ t 2 = 0

Sendo assim o limite existe! E o terceiro critério foi satisfeito e temos que a função é diferenciável

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

  é   d i f e r e n c i á v e l

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