USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 3.28
Decida, justificando ou apresentando contra-exemplo, se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa:
a. Se f é derivável em , então | f(x)| é derivável em , desde que f() ≠0. E no caso em que f() = 0?
b. Se f, g são duas funções deriváveis em , então as funções e são deriváveis em ;
c. Suponha , onde g é uma função contínua em = 0. Então f é derivável em = 0. Se for verdadeira, calcule f ′ (0) em termos de g;
d. É possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0.
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que decidir, justificando ou apresentando contra-exemplo, se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa:
a. Se f é derivável em , então | f(x)| é derivável em , desde que f() ≠0. E no caso em que f() = 0?
b. Se f, g são duas funções deriváveis em , então as funções e são deriváveis em ;
c. Suponha , onde g é uma função contínua em = 0. Então f é derivável em = 0. Se for verdadeira, calcule f ′ (0) em termos de g;
d. É possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0.
Vamos lá!
Passo 2
Olhando para a primeira afirmação
a. Se f é derivável em , então | f(x)| é derivável em , desde que f() ≠0. E no caso em que f() = 0?
Temos que a derivada de uma função no ponto existe se os seus limites laterais existirem e forem iguais. Sendo f() ≠0, então não haverá troca de sinal nos limites laterais da função modular de que é o que faz com que ela seja descontínua e não derivável. Então, nessas condições a derivada da função modular deve existir no ponto .
Um contra-exemplo é a função =|x| no ponto , pois o limite lateral esquerdo dessa função é -1 e o limite lateral direito dessa função é 1. Portanto, a derivada de =|x| não existe para .
Passo 3
Olhando para a segunda afirmação:
b. Se f, g são duas funções deriváveis em , então as funções e são deriváveis em ;
Como as funções e no ponto serão iguais a uma das funções , e essas são deriváveis em , temos que e também serão. Então a afirmação b. é verdadeira.
Passo 4
c. Suponha , onde g é uma função contínua em = 0. Então f é derivável em = 0. Se for verdadeira, calcule f ′ (0) em termos de g;
Sendo,
e é contínua em = 0. Calculando a derivada de :
em = 0
Assim, f é derivável em = 0, pois é contínua em = 0.
Então a afirmação c. é verdadeira e,
.
Passo 5
Olhando para a afirmação:
d. É possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0.
Se temos
Então, derivando dos dois lados com relação a x, temos
Essa relação deve ser válida para todo x, mas como , temos que para x=0
ela não é válida, então provamos que não podemos escrever
para , e e deriváveis. Logo a afirmação d. é falsa.
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
No decorrer da questão.