Se f : [-1,4] → Im(f) é uma função diferenciável tal que f(-1) = 7, f(1) = 2, f(2) = 0 e f'(x) < -1 em [-1,4] .

e) Utilizando o item b), se f(x₀) = y₀ e f(x₁) = y₁ , calcule (f^(-1))'(y_0) e (f^(-1))'(y1) .

Passo 1

Oiii pessoal, tudo bom por aí?

Nessa questão recebemos algumas poucas informações sobre a função f . É falado que:

1 ) f : - 1,4 → I m ( f )  

Isso significa que f tem como domínio o conjunto [ - 1,4 ] .

2 )  

f - 1 = 7 f 1 = 2 f 2 = 0

3 )   f ' x < - 1 em [ - 1,4 ]

Além de tudo isso, nesse item e) ele nos pede para usar o item b) da questão. O item b) falava que existem x 0 e x 1 em [ - 1,4 ] tais que

f ' x 0 =   - 2 ,   f ' x 1 =   - 7 / 3

Sendo assim, a questão nos fala que se f x 0 = y 0 e f x 1 = y 1 , precisamos calcular:

( f - 1 ) ' ( y 0 ) ( f - 1 ) ' ( y 1 )

Po, mas é como que fazemos isso? Só entender o que é a derivada da inversa já é um pouquinho complicado né? Haha. Mas, tem um teorema que nos ajuda bastante a resolver o problema de forma objetiva. Ele diz o seguinte:

f - 1 ' x =   1 f ' ( f - 1 x )

Olha que beleza né! Então, vamos usar esse teorema junto com as outras informações dadas pra matar o nosso probleminha.

Passo 2

Queremos calcular:

f - 1 ' y 0

Usando o teorema:

f - 1 ' x =   1 f ' ( f - 1 x )

Vamos ter que:

f - 1 ' y 0 = 1 f ' ( f - 1 y 0 )

Mas, o próprio enunciado nos falou que:

f x 0 = y 0

Ou seja, se tomarmos a inversa dos dois lados, temos que:

f - 1 f x 0 = f - 1 y 0

∴ f - 1 y 0 = x 0

Daí, substituindo na expressão do nosso teorema, vamos ter:

f - 1 ' y 0 = 1 f ' ( x 0 )

Só que, pelo item b), temos:

f ' x 0 =   - 2

Portanto:

f - 1 ' y 0 =   - 1 2  

Excelente! O primeior já foi 😊

Passo 3

Agora vamos calcular:

f - 1 ' y 1

A ideia é a mesma! Você pode até tentar fazer esse sozinho e se não conseguir volta aqui e dar uma conferida. O que acha?

Bom, usando o nosso teorema vamos ter:

f - 1 ' y 1 = 1 f ' ( f - 1 y 1 )

Mas, pelo enunciado:

f x 1 = y 1

∴ f - 1 y 1 = x 1

Logo, substituindo temos:

f - 1 ' y 1 = 1 f ' x 1

Só que, pelo item b), vale:

f ' x 1 =   - 7 3

Portanto:

f - 1 ' y 1 = 1 - 7 3

=   - 3 7

Ou sejaa:

f - 1 ' y 1 = - 3 7

Prontinho pessoal! Matamos mais uma questão.

Vocês curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

f - 1 ' y 0 =   - 1 2 f - 1 ' y 1 = - 3 7

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