UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.15
Mostre que se e são funções diferenciáveis em e contínuas em , com para todo , então existe uma constante tal que para todo .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... para mostrar que e são funções diferenciáveis em e contínuas em , com para todo , a gente pode usar o Teorema do Valor Médio.
Mas que teorema é esse?
O Teorema do Valor Médio estabelece que se uma função é contínua em e diferenciável em , então existe um ponto onde a derivada é igual à variação média da função no intervalo .
Para isso, vamos definir uma nova função , onde:
Onde essa função também é diferencial e contínua em . Além disso, para as mesmas condições, temos que:
Agora vamos aplicar o Teorema do Valor Médio.
Quer saber como? Então bora junto!!
😉
Passo 2
Aplicando o teorema, temos:
Como para todo , então:
Substituindo em , temos:
Vamos definir que . Assim, podemos escrever:
Com essa identidade é válida para todos os pontos de no intervalo , concluímos que:
para todo .
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)