Prove que se f e g são diferenciaveis em a, então as funções max(f, g) e min(f, g)

são diferenciaveis em a desde que f a ̸ ≠   g a .

Passo 1

Vamos começar por provar a diferenciabilidade da função ( h x =   m a x f x ,   g x ) , onde ( f )   e   ( g ) são diferenciáveis em ( a )   e   ( f a ≠ g a ) .

A função   h x     é definida como o máximo entre   f x   e     g x   . Isso significa que para   x   próximo a   a   ,   ( h ( x )   ) será igual a   ( f ( x )   ) se   ( f ( x )   >   g ( x ) �� ) , e será igual a   ( g ( x )   ) se   ( g ( x )   >   f ( x )   ) . Em outras palavras,   ( h ( x )   ) "seleciona" o valor máximo entre   ( f ( x )   ) e   g x     para cada ponto   ( x   ) .

Dado que   ( f   )   e     ( g   ) são diferenciáveis em   ( a   ) , podemos usar a definição de derivada para afirmar que:

[ f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h ]

[ g ' a = lim h → 0 ⁡ g a + h - g a h ]

Agora, se ( f a > g a ) , o que implica que ( h a = f a ) , a derivada ( h ' a ) pode ser calculada usando a definição de derivada:

[ h ' a = lim h → 0 ⁡ h a + h - h a h = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h = f ' a . ]

Passo 2

Da mesma forma, se ( g a > f a ) , o que implica que ( h a = g a ) , teremos:

[ h ' a = lim h → 0 ⁡ h a + h - h a h = lim h → 0 ⁡ g a + h - g a h = g ' a . ]

Portanto, ( h ' a ) existe e é igual a ( f ' a ) se ( f a > g a ) , ou é igual a ( g ' a ) se ( g a > f a ) .

O argumento para a f u n ç ã o ( k x = min ⁡ f x , g x ) é análogo. A diferença é que, quando ( k x ) seleciona o valor mínimo entre ( f x ) e ( g x ) , a derivada ( k ' a ) será ( f ' a ) s e ( f a < g a ) , ou será ( g ' a ) s e ( g a < f a ) .

Em resumo, se ( f )   e   ( g ) são diferenciáveis em ( a ) e ( f a ≠ g a ) , então as funções ( max ⁡ f , g ) e ( min ⁡ f , g ) também são diferenciáveis em ( a ) , e suas derivadas são iguais à derivada da função que tem o maior ou menor valor entre ( f )   e   ( g ) no ponto ( a ) , dependendo das relações entre ( f a ) e ( g a ) .

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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