UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 10c
Prove que se f e g são diferenciaveis em a, então as funções max(f, g) e min(f, g)
são diferenciaveis em a desde que .
Passo 1
Vamos começar por provar a diferenciabilidade da função onde são diferenciáveis em .
A função é definida como o máximo entre . Isso significa que para próximo a , será igual a se , e será igual a se . Em outras palavras, "seleciona" o valor máximo entre e para cada ponto .
Dado que são diferenciáveis em , podemos usar a definição de derivada para afirmar que:
Agora, se o que implica que , a derivada pode ser calculada usando a definição de derivada:
Passo 2
Da mesma forma, se , o que implica que , teremos:
Portanto, existe e é igual a se , ou é igual a se .
O argumento para a é análogo. A diferença é que, quando seleciona o valor mínimo entre , a derivada será , ou será .
Em resumo, se são diferenciáveis em , então as funções também são diferenciáveis em , e suas derivadas são iguais à derivada da função que tem o maior ou menor valor entre no ponto , dependendo das relações entre .
Resposta
Ver o desenvolvimento.