Seja f : R → R uma função derivável e seja a ∈ R fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

  1. Se f ' x > 0 , para todo x > a , então lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa afirmação aqui

Se f ' x > 0 , para todo x > a , então lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞

E agora, essa afirmação é verdadeira?

Quando temos uma função com derivada positiva, isso significa necessariamente que ela explode para infinito?

Sabemos que uma função explode para infinito quando

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

Será que uma coisa está relacionada com a outra?

Então a ideia é analisar funções em que isso falha! Assim podemos afirmar que é falsa!

Bora lá!

Passo 2

Vamos pegar o exemplo dessa função aqui

f x = 3 - 6 x e 2 / x

Analisando o sinal da derivada vemos que ela é sempre positiva para x > 0 , mas isso significa que a função explode?

Não!

Calculando o limite no infinito, vemos que

lim x → + ∞ ⁡ f x = 3

Ou seja, mesmo que a inclinação da reta tangente seja sempre positiva, isso não significa, necessariamente, que a função explode!

Portanto essa afirmativa é falsa

E é isso! Até a próxima!

Resposta

f a l s a

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