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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Passo 1

Integração por partes né? Do que a gente precisa? Determinar quem vai ser u   e   d v , certo? Vamos lembrar do nosso macete para escolher o u , o LIATE (logarítmica, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial).

A função algébrica tem prioridade, então

u = x 2

d v = cos ⁡ x   d x

Passo 2

Escolhidos u   e   v , precisamos encontrar d u   e   v

u = x 2

Derivando

d u = 2 x   d x

E

d v = cos ⁡ x d x

v = sen ⁡ x

Vamos omitir as constantes aqui,beleza? Lá no final a gente coloca a constante geral.

Passo 3

Pronto! Com u , d u , v   e   d v determinados, agora vamos aplicar na regrinha da integração por partes que é:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando

∫ u   d v =   x 2 sen ⁡ x - ∫ sen ⁡ x     .   2 x d x

∫ u   d v =   x 2 sen ⁡ x - 2 ∫ sen ⁡ x     .   x d x

Passo 4

Viu o que aconteceu? Ficamos com uma integração por partes dentro da outra. Calma! É só fazer a escolha de u   e   d v de novo. Vamos chamar de u 2   e   d v 2

∫ x sen ⁡ x d x

De novo a função algébrica é prioridade

u 2 = x

d u 2 =   d x

E

d v 2 = sen ⁡ x   d x

v 2 = - cos ⁡ x

Substituindo novamente

∫ u 2   d v 2 = u 2 v 2 - ∫ v 2   d u 2

∫ sen ⁡ x     .   x d x = x   .   - cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x d x

∫ sen ⁡ x     .   x d x = x   .   - cos ⁡ x + ∫ cos ⁡ x d x

∫ sen ⁡ x     .   x d x = - x cos ⁡ x + sen ⁡ x

Passo 5

Ufa! Resolvemos essa parte, agora vamos voltar pra primeira expressão

∫ x 2 cos ⁡ x =   x 2 sen ⁡ x - 2 ( - x cos ⁡ x + sen ⁡ x )

∫ x 2 cos ⁡ x =   x 2 sen ⁡ x + 2 x cos ⁡ x - 2 sen ⁡ x + C

Prontinho! Não esquece da constante viu?

Resposta

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