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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Passo 1

Integração por partes né? Do que a gente precisa? Determinar quem vai ser u   e   d v , certo? Vamos lembrar do nosso macete para escolher o u , o LIATE (logarítmica, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial).

No nosso caso temos uma inversa trigonométrica, então

u = arc tan ⁡ x

d v = x   d x

Passo 2

Escolhidos u   e   v , precisamos encontrar d u   e   v

u = arc tan ⁡ x

Derivando

d u = 1 x 2 + 1   d x

Essa é uma daquelas derivadas mais chatinhas de fazer, se ficar com dúvida volta lá nos tópicos de derivação que tá mais detalhado. Vamos continuar

d v = x   d x

v = x 2 2

Vamos omitir as constantes aqui,beleza? Lá no final a gente coloca a constante geral.

Passo 3

Pronto! Com u , d u , v   e   d v determinados, agora vamos aplicar na regrinha da integração por partes que é:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando

∫ u   d v = arctan ⁡ x   .   x 2 2 - ∫ x 2 2 1 x 2 + 1 d x

∫ u   d v = arctan ⁡ x   .   x 2 2 - 1 2 ∫ x 2 x 2 + 1 d x

Passo 4

Para resolver

∫ x 2 x 2 + 1 d x

Precisamos fazer umas manipulações

x 2 x 2 + 1 = x 2 + 1 - 1 x 2 + 1

x 2 + 1 - 1 x 2 + 1 = 1 - 1 x 2 + 1

Isso a gente já sabe integrar

∫ 1 - 1 x 2 + 1 d x =

= ∫ 1   d x - ∫ 1 x 2 + 1 d x

= x - arctan ⁡ x

Passo 5

Substituindo na nossa expressão

∫ x arctan ⁡ x = x 2 2 arctan ⁡ x   - 1 2 ( x - arctan ⁡ x )

∫ x arctan ⁡ x = x 2 2 arctan ⁡ x   - 1 2 x + 1 2 arctan ⁡ x + C

∫ x arctan ⁡ x = 1 2 ( x 2 arctan ⁡ x   - x + arctan ⁡ x ) + C

Finalmente! Não esquece da constante viu?

Resposta

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