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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Passo 1

Integração por partes então precisamos determinar quem vai ser u   e   d v . Vamos lembrar do nosso macete para escolher o u , o LIATE (logarítmica, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial).

Então

u = ln ⁡ x

d v = x   d x

Passo 2

Escolhidos u   e   v , precisamos encontrar d u   e   v

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

E

d v = x   d x

v = 2 3 x 3 / 2

Vamos omitir as constantes aqui,beleza? Lá no final a gente coloca a constante geral.

Passo 3

Pronto! Com u , d u , v   e   d v determinados, agora vamos aplicar na regrinha da integração por partes que é:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando

∫ u   d v = ln ⁡ x . 2 3 x 3 2 - ∫ 2 3 x 3 2 1 x d x

∫ u   d v = 2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 2 3 ∫ x   d x

Passo 4

Agora falta resolver a integral

∫ x   d x = 2 3 x 3 2

E substituir

∫ x   ln ⁡ x d x =   2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 2 3   2 3 x 3 2  

∫ x   ln ⁡ x d x =   2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 4 9 x 3 2 + C

Prontinho! Não esquece da constante viu?

Resposta

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