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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Passo 1

Vamos lá resolver essa integração por partes. Pra isso precisamos determinar quem vai ser u   e   d v . Vamos lembrar do nosso macete para escolher o u , o LIATE (logarítmica, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial).

No nosso caso então

u = x

d v = sec 2 ⁡ x

Passo 2

Beleza! Agora vamos encontrar d u   e   v

u = x

d u = d x

E

d v = sec 2 ⁡ x

v = tan ⁡ x

Passo 3

Para resolver então vamos substituir os passos anteriores na expressão de integração por partes

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x d x

Passo 4

Para resolver ∫ tan ⁡ x d x vamos usar a integração por substituição

∫ tan ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x

u 2 = cos ⁡ x

d u 2 = - sen ⁡ x d x

∫ tan ⁡ x d x = - ∫ d u 2 u 2

∫ tan ⁡ x d x = - ln ⁡ u 2

Substituindo novamente

∫ tan ⁡ x d x = - ln ⁡ cos ⁡ x

Podemos reescrever isso como

- ln ⁡ cos ⁡ x = ln ⁡ cos ⁡ x - 1 = ln ⁡ sec ⁡ x

Passo 5

Resolvida a integral vamos substituir o que encontramos lá na nossa expressão do passo 3.

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x d x

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + C

Não se esqueça de adicionar a constante no final!

Resposta

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