UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 12.5
que
Passo 1
Oiee bora resolver essa comigo
Para mostrar que
vamos usar a integração por partes. A fórmula de integração por partes é dada por:
onde u e dv são partes diferenciáveis da função a ser integrada.
Definimos:
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Passo 2
Primeiro, avaliamos a parte esquerda da equação nos limites de integração:
Agora, tratamos a parte direita da equação:
Passo 3
Neste ponto, podemos usar integração por partes novamente para avaliar essa integral:
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes novamente:
A primeira integral à direita é o produto de u e v:
Portanto, a equação se torna:
Passo 4
Agora, somamos essa integral a ambos os lados da equação original:
Dividimos ambos os lados por 2:
Agora, podemos usar a identidade trigonométrica para simplificar ainda mais a integral:
Passo 5
Agora, vamos usar uma substituição trigonométrica o que implica
Agora, podemos resolver a integral:
Agora, voltamos para a equação original:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração:
Passo 7
Agora, substituímos o valor de na equação original:
Para resolver essa equação, multiplicamos ambos os lados por
Agora, exponenciamos ambos os lados para isolar o
Resposta
Demonstração nos passos.